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用有限元分析对圣维南原理进行探究

时间:2018-06-29 12:38

来源:未知作者:admin点击:

  根基上所有的布局工程师城市利用到圣维南道理。大大都布局力学教科书都收录了基于该道理的各类公式,但至今尚未对其进行严酷证实。圣维南道理指出,只需载荷的协力准确,那么在远离载荷感化区的处所,载荷的切确漫衍就不主要。在本文中,咱们将采用无限元阐发对圣维南道理进行探究。

  1855 年,法国科学家圣维南(Barr de Saint-Venant)颁发了一个出名道理,但与其说这是一个严谨的数学命题,不如说是一个察看发觉。

  “若是感化在弹性体一小块概况上的力被感化于统一块概况上的静力等效力系替换,这种替代仅使局部概况发生显著的应力变迁,而在比应力变迁概况的线性尺寸更远的处所,其影响可纰漏不计。”!

  圣维南肖像。图像来历于公有范畴,通过 Wikimedia Commons 共享。

  在使用力学范畴,Boussinesq、Love、von Mises、Toupin 等科学家都对这一道理进行了精准的论述,并给出了数学证实。可是对付良多正常性问题,论证圣维南道理拥有很浩劫度,所以对该课题的钻研仍在继续(有些论据相当明显)。

  让咱们从一个简略的案例起头:对矩形薄板施加轴向拉力,与载荷感化边相隔一段距离处有一个圆孔。倘使咱们要阐发孔的应力集中,那么现实的载荷漫衍有多主要呢?

  如下方画图所示,载荷施加体例不影响孔四周的应力漫衍。当然,环节在于孔距离载荷足够远。

  该场景也能够利用箭头图来绘制主应力。此图将应力场绘制为通量,从而清楚地展现了应力从头漫衍的变迁。

  通过绘制应力曲线,咱们发觉当圆孔与受力边相距必然距离后,三种工况的曲线就会聚在一路,这个距离大约等于板的宽度。

  顶边上的应力随与受力鸿沟间距的变迁而变迁。距离为通过板宽进行尺度化后的值。

  若是孔向载荷感化边接近,成果就会分歧。这时,孔四周的应力情况取决于应力漫衍。更成心思的是,孔到三个应力场趋势分歧的位置的距离是到载荷鸿沟距离的两倍。使用圣维南道理的条件是应力能够自在地从头漫衍。然而在此例中,孔在必然水平上障碍了应力从头漫衍。

  值得留意的是,圣维南道理指出:当距离大约等于载荷感化区的线性尺寸量级时,应力形态没有不同。不外,要思量的受载区却未必是真正加载的处所!这个说法听起来大概很奇异,咱们能够如许想:当孔距离较远时,咱们可按照参考书(我的参考书为 4.32),而不是利用无限元解来计较应力集中系数。参考书中有一个隐含假设:在第一个载荷工况中,载荷是平均漫衍的。因而,即使载荷现实上只施加到一小块鸿沟上,该例中的临界距离仍与整个鸿沟尺寸都相关。

  若是利用无限元方式(FEM)来求解问题,孔能够肆意靠近载荷。独一的制约是,维南原理进行探究从物理的角度来看,载荷漫衍是明白界说的。不外,只需咱们对从头漫衍做出假设,就会具有关于载荷漫衍的隐含假设,而这个假设可能与现实环境分歧。

  咱们在上文中注释了在特定的恰当距离之外,应力巨细,其巨细与载荷巨细无关。因而,在处置线弹性时,咱们老是能够叠加载荷工况。当证实圣维南道理时,很容易沿着这个思绪总结出一个准绳:由无协力或力矩的载荷体系惹起的应力在必然距离之外很小,该距离与载荷感化鸿沟的尺寸是统一数量级。

  所以,咱们将对两个协力不异的载荷体系的不同所导致的应力进行钻研。近代的大大都证实都以这类零力系的应变能密度的衰减的估量值为根本。

  回到上面的问题,咱们能够计较各个载荷工况的不同,借此对由应力场的不同形成的应力或应变能密度的衰减征象进行精确的钻研。

  协力为零的载荷工况对应的薄板应变能密度。为了使能量仅仅取决于与载荷的距离而变迁,对垂直标的目的的能量进行了积分。

  应变能密度的对数衰减率与同载荷感化鸿沟的距离或多或少呈线性关系。这现实上合适当代证实的预测应变能密度的指数衰减。咱们还能清楚地看到圆孔是若何短暂低落衰减率的。

  家喻户晓,对付壳体、梁和桁架之类的薄壁布局,咱们不克不及按处置“健壮”物体的体例来使用圣维南道理。由于薄壁布局内的载荷路径少得多,所以扰动传布的距离比想象中远。上文的圆孔案例也呈现了这种征象,只是薄壁布局愈加显著。

  在本文中,咱们取舍钻研一个合适 IPE100 截面尺度的梁。梁结尾遭到轴向应力的感化,应力巨细在两个横截面标的目的均呈线性漫衍。

  因为载荷拥有对称性,因而其协力为零,所有轴线四周的力矩也为零。横截面高 100 mm,若是圣维南道理的尺度情势对其合用,那么在距离结尾截面约 100 mm 的处所应力该当很小。

  现实证实,为了使应力低于施加的峰值应力的 5%,应力必需沿梁挪动近一米的距离,而上翼缘和下翼缘必要通过薄腹板传送力矩来连结均衡,这就形成应力从头漫衍的效率很是低。

  若是你十分相熟梁的非平均旋转理论,好比翘曲理论或弗拉索夫理论,就会认识到施加的载荷有很大的双力矩。双力矩是一个横截面量,其物理巨细等于力 X 长度 2。

  大概在此例中(只是我小我的猜测),圣维南道理无效的前提不只是力和力矩为零,另有双力矩为零。这一点能够通过添加四个可抵消双力矩的点载荷来实现。该阐发的成果如下图所示。

  画图显示了增添了四个点载荷,双力矩变为零后的无效应力。此刻 5% 的应力等值线十分接近载荷感化鸿沟。

  咱们没有特地取舍施加点载荷的最优位置,点载荷发生了极大的(现实为神奇的)局部应力。不外,应力很快降落,凌驾 100 mm 摆布后都小于 5%。5% 的下限依然是针对所施加的漫衍载荷而言,并没有按照新的局部应力进行调解。添加点载荷之后,应变能密度的对数衰减率加速了两倍。

  良多环境下,你能够直观地以为圣维南道理合用于无限元离散化问题。在本文中,咱们次要切磋漫衍载荷和不相容网格。

  尽管咱们在无限元模子中将应力设为持续的鸿沟载荷,但总要将应力施加在网格节点上。如下方案例所示,按照虚功道理载荷漫衍到单位内部节点。

  不外,只需协力和力矩不异,不异的节点载荷能够对应有数种载荷漫衍。明显,这类环境的无限元问题都具有不异的解。不外,咱们能够按照圣维南道理揣度,只需相距必然距离,这类载荷素质上该当发生不异的应力场。

  因为载荷从头漫衍的区域尺寸是基于单位面的,因而线性尺寸素质上是布局内部的一个单位层。所以,用有限元分析对圣单位最外层的解可能与现实载荷不符,内部的解则不异。

  举个例子,咱们对一块矩形板施加了应力呈指数漫衍的鸿沟载荷,并采用细化网格进行了计较,应力成果如下图所示。

  不出所料,受圣维南道理的影响,在离载荷感化边必然距离的处所,应力场从头漫衍成了纯弯曲形态。不外,这不是本次会商的焦点。咱们钻研的是上方的应力漫衍与利用粗化网格获得的应力漫衍之间的不同。

  采用三种分歧网格对应的轴向应力偏差。留意三者标准分歧。网格越细,偏差越小,这合适预期。

  能够发觉,颠末第一个单位层之后,偏差倏地削减。图中现实上是网格的收敛性和合适圣维南道理的应力从头漫衍的配合结果。

  当两个彼此毗连的单位的形函数不婚配时,会呈现不相容网格。这类问题最常见于利用分歧对和持续性前提来毗连拆卸的环境。为了举例申明,咱们取舍对一根蕴含居心不婚配的网格的直杆进行钻研。通过施加简略的载荷工况,好比单轴拉伸,咱们就能钻研由过渡导致的应力扰动。

  摆布两侧的节点传送的力并分歧适应力稳定的假设。这种环境也能够被看作局部载荷在等于单位巨细的区域长进行从头漫衍。按照圣维南道理,咱们揣度在“单位巨细”的距离之外,扰动会逐步消逝。下面咱们钻研一下轴向网格细化后,将会呈现什么环境。

  成果证实,扰动区域在垂直于过渡鸿沟的标的目的上不受离散化的影响。这与圣维南道理的揣度彻底分歧。

  由于不成知细致的载荷漫衍,所以若是晦气用圣维南道理,良多布局阐发都难以进行。

  在情势上,道理只对线弹性资料无效。在实践中,咱们每天也会直觉地将其使用于其他类型的仿真。举例来说,若是“带孔板”案例中的资料是弹塑性的,只需屈就应力大于鸿沟应力,且孔四周只要弹性变形,咱们就会预测两个漫衍载荷天生不异的成果。不外,由于点载荷四周的资料产生了屈就,所以点载荷老是天生分歧的解。

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